＜問題8＞
渋谷教育学園幕張中学校　一次　2023年

次の①～③のルールにしたがって整数をつくって、左から右へ順番に並べていきます。

＜ルール＞
① 1番目の数を0とする。
② 2番目の数をaとする。（aは1けたの整数とする。）
③ 3番目からあとの数は、1つ前につくった数と2つ前につくった数をたした数の1の位の数とする。

このルールで整数を並べたときのn番目の数を、( a、n )と表します。たとえば、a＝1とすると、数が0、1、1、2、3、5、8、3、……　と並ぶので、( 1、8 )＝3となります。
次の各問いに答えなさい。

(1) ( 1、n )＝0 にあてはまるnのうち、2番目に小さい数を求めなさい。

(2) ( 1、2023 )＋( a、2023 )＝10 にあてはまるaをすべて求めなさい。

※中学校の許可を得て掲載しています。

【解答】

(1) 16
(2) a = 4, 9

【解説】

まずは書き出してみないと始まりません.
(1)
規則性の問題に見えます. 実際にa = 1のときに並ぶ列を書いてみましょう.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4, 3, 7,
0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, 1, 7, 8, 5, 3, 8, 1, 9,
0, 9, 9, 8, 7, 5, 2, 7, 9, 6, 5, 1, 6, 7, 3,
0, 3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3, 2, 5, 7, 2, 9, 1,
0, 1, 1, 2, …

周期は60です. 初めて0が並ぶのは16番目です.

(2)
まず(1,2023)を求めたいです. 周期は60なので
2023 ÷ 60 = 33 … 43 より, 2023番目の数は33周期を繰り返したあとの43番目の数, すなわち 6 です.
さて, (a, 2023) = 10 – 6 = 4となるaを探したいですが, (a, 2023) について何か手がかりはないでしょうか。試しに様々なaでやってみます.
a=1のとき 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1 …
a=2のとき 0, 2, 2, 4, 6, 0, 6, 6, 2 …
a=3のとき 0, 3, 3, 6, 9, 5, 4, 9, 3 …
なにか規則に気づきませんか？

「(1, n) ×aの一の位と, (a, n)は等しい」という規則に気づきます. 実際にこれは正しく, あとは(1, 2023) = 6 に a をかけた数の一の位が (a, 2023) = 4 になるような a を探すだけです. 九九の6の段を唱えれば, a = 4, 9 が条件に適すことが分かります. よって答えは a = 4, 9 です.
先に規則に気づいてしまえば, 17個数字を書き出すだけで問題が解けてしまいます.
a = 1の数列の16番目からがa = 7の数列と同じなので, a = 7の数列の16番目からが7×7を10で割った余りが9なのでa = 9の数列と同じになり, a = 9の数列の16番目からが9×7を10で割った余りが3なのでa = 3の数列と同じになり, a = 3の数列の16番目からが9×7を10で割った余りが1なのでa = 1の数列と同じになるので, 周期が60と分かります.
フィボナッチ数列の問題でした.

【おまけクイズ】
a=1のとき, 数列は0,1,…と始まって…0,1,…と最初の二数に戻ってきました.
ルールの③を「3番目からあとの数は、1つ前につくった数と2つ前につくった数をたした数を整数Mで割ったときの余りとする。」に変えます. M=10のときがこの問です. 他のMでもa=1のとき, 同じように数列が最初の二数に戻ってくるといえるでしょうか？