＜問題7＞
浦和明の星女子中学校　第1回　2023年

1から10まで、それぞれの番号がかかれた玉が1個ずつ、全部で10個あります。10個の玉はA、Bどちらかの箱に入っていて、サイコロを振るごとに、「1」から「6」のうち出た目の数で割り切れる番号のかかれた玉を移しかえます。
例えば、はじめに全部の玉がAに入っていて、サイコロを振って「2」の目が出たとします。そのときは、2、4、6、8、10の玉をBへ移します。その後、またサイコロを振って「3」の目が出たとします。そのときは、3、9の玉をBへ移し、6の玉をAへ移すので、Aには1、5、6、7の玉、Bには2、3、4、8、9、10の玉が入っていることになります。

(1)はじめに全部の玉がAに入っていて、サイコロを3回振って「4」、「1」、「5」の目が出ました。Aに入っている玉の番号を小さい順にすべて答えなさい。

(2)全部の玉がAに入った状態からサイコロを何回振っても、ある番号とある番号の玉は必ず同じ箱に入っています。その番号の組をすべて答えなさい。例えば、1と2の組を答える場合は、(1、2)のように書きなさい。

(3)はじめに全部の玉がAに入っていて、サイコロを4回振って玉を移しかえました。その結果、Aに6個、Bに4個の玉が入っていました。出た目は4回ともすべて異なり、Aには1と10の玉が入っていることがわかりました。Aに入っている玉の番号を小さい順にすべて答えなさい。ただし、1と10は解答欄にすでに書いてあるので、それ以外の番号を答えなさい。

※中学校の許可を得て掲載しています。

【解答】

(1)4, 5, 8, 10
(2) (1,7), (3,9), (4,8)
(3) 4,6,7,8

【解説】

サイコロの目と移す玉の対応表を書いて整理することで、この後の問で大幅に楽になります.
行：サイコロの目　列：玉の番号
〇：移し替える　×：移し替えない

12345678910
1〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇
2×〇×〇×〇×〇×〇
3××〇××〇××〇×
4×××〇×××〇××
5××××〇××××〇
6×××××〇××××

(1)
1,4,5の行を見て, 〇が0個または2個ある列を探せばよいです.そのような玉の番号は4, 5, 8, 10 です.

(2)
〇と×の並び方が全く同じ列の組を探せばよいです. そのような列の組み合わせは(1,7), (3,9), (4,8) です.

(3)
どの目も高々1回しか出ていないことに留意します. 表より1の玉を移すサイコロの目は1しかないため, Aに1の玉が入っているということは, サイコロで1の目は出ていません. また, 表より10の玉を移すサイコロの目は2, 5しかないため, Aに10の玉が入っているということは, サイコロで2, 5の目は両方とも出ていないか, あるいは出ています. さて, いま考えられるサイコロの目の組み合わせは
(2,3,4,5), (2,3,5,6), (2,4,5,6)です. (1)と同様に愚直に調べることで,
(2,3,4,5)のときはAに1,4,6,7,8,10の6コ,
(2,3,5,6)のときはAに1,7,10の3コ
(2,4,5,6)のときはAに1,3,4,6,7,8,9の7コ
の玉が入ります. 問題文よりAに入っている玉は6コなので, Ａに入っている玉の番号は1,4,6,7,8,10 です. 解答は1,10を除かなければいけないため, 「4,6,7,8」になります.

仮に2,3,4,5,6の目が出たと仮定し, そのうち1つを戻すという方法もあります. 計算量はこちらの方が少なそうです.

サイコロの目によって移す球をbitとして管理すれば, 排他的論理和を用いて答えを求めることもできます.