＜問題６＞
栄東中学校　東大特待Ⅰ(１教科)　2023年

1から9の中から異なる4つの数字を出題者が選んでつくった4桁の整数を解答者が当てるゲームがあります。解答者は4桁の整数を言い、それに対して出題者は下のルールでヒントを出し、解答者が何回目までで正解を当てるかを競います。

ルール
正解の4桁の整数と比べて、位と数字がともに一致している場合は〇、位は異なるが、他の位に一致する数字がある場合は△と答える。

たとえば、出題者がつくった整数が1357で、解答者が7154と言った場合、5が十の位で一致しているので〇、7と1は使っている位が異なるので△となり、この場合、出題者は〇1つ△2つと答える。

このゲームを解答者が栄くん、出題者が東さんで始めました。次の会話を読んで問いに答えなさい。

東さん　「4桁の整数を決めたから言っていいよ。」
栄くん　「じゃあ、1234」
東さん　「んー、その中の1つだけ使われてるけど位が違うから、△1つ」
栄くん　「5678」
東さん　「1つは位も合ってて、1つは位が違うから、○１つ△１つ」
栄くん　「ということはアはどこかの位に使われてるってことだ。
　　　　　じゃあ、4569」
東さん　「○2つ△1つ」
栄くん　「9476」
東さん　「△3つ」
栄くん　「おー！　これで4桁の整数はイ通りにしぼりこめた！」
東さん　「え？　もうそんなに少なくなったの？　なんで？」
栄くん　「じゃあ、説明するね！」

ア、イの空欄にあてはまる数を答えなさい。また、栄くんになったつもりで説明し、正解と考えられる4桁の整数をすべて答えなさい。

※中学校の許可を得て掲載しています。

【解答】

ア：9
イ：2

【解説】

論理的に考えていきましょう. 条件を整理します.
条件がたくさん出てきますが, 強力な条件から考えていくと正解の候補が絞り込めます.

答えは1から9の中から異なる4つの数字を選んでつくった４桁の整数
1234 : △
5678 : 〇△
4569 : 〇〇△
9476 : △△△

1234のうち答えに使われる数字は1コあり, 5678のうち答えに使われる数字は2コあります. この他に使われる数字が4-1-2=1コあるはずです. つまり9は答えに使われます.
よってア＝９です.

4569のうち答えに使われている数字が3コあり, 9476のうち答えに使われている数字が3コあり, さらに9が答えに使われていることが確定しているので, 以下の二つの可能性が考えられます.
(1) 4, 6が両方とも答えに使われ, 5, 7は答えに使われない.
(2) 4, 6のうち片方答えに使われ, 5, 7は両方答えに使われる.

(1)のとき
4,6,9ともう一つ答えに使われる数字を探しましょう. 1234を見ると, 4が答えに使われるので1,2,3は答えに使われません. 1,2,3,5,7が答えに使われないので残った4,6,8,9が答えに使われる数字です. これはすべての条件に適しているため, あとは4,6,8,9と〇のみに注目すればよいです. 必要な情報だけ取り出したものが以下です.
_ _ _ 4 :
_ 6 _ 8 : 〇
4 _ 6 9 : 〇〇
9 4 _ 6 :

4_69の4,6の位置が正しい場合, 答えは4968 しかありえません. これは適しています.
4_69の6,9の位置が正しい場合, 答えは8469しかありえません. これは_ 6 _ 8に不適です.
4_69の9,4の位置が正しい場合,答えは4689しかありえません. これは適しています.

(2)のとき
5,7,9と4または6が答えに使われる数字です. ここで1234のうち1コは答えに使われる数字なので, 4は答えに使われます. したがって4,5,7,9が使われる数字であり, これはすべての条件に適しているので, あとは4,5,7,9と〇のみに注目すればよいです. 必要な情報だけ取り出したものが以下です.
_ _ _ 4 :
5 _ 7 _ : 〇
4 5 _ 9 : 〇〇
9 4 7 _ :

45_9の4,5の位置が正しい場合,答えは4597しかありえません. これは5 _ 7 _に不適です.
45_9の5,9の位置が正しい場合,答えは7549しかありえません. これは5 _ 7 _に不適です.
45_9の9,4の位置が正しい場合,答えは4759しかありえません. これは5 _ 7 _に不適です.

したがって正解は4689, 4968の2コに絞り込め, イ＝２です. 以上を栄くんの口調で説明すればよいでしょう.