＜問題３＞
栄東中学校　東大特待Ⅰ　2023年

次の.にあてはまる数を答えなさい。
2023のように各位の数の和が7になる4桁の整数のうち、2023未満のもの
は.個あります。

※中学校の許可を得て掲載しています。

【解答】

30

【解説】

愚直に調べるのが速そうです. 条件に適す4桁の整数の千の位は1か2しかあり得ません.
[1]千の位が1のとき
1[][][]の[]に入る数の組み合わせを考えます.
(0,0,6) … 3通り (0,1,5) … 6通り
(0,2,4) … 6通り (0,3,3) … 3通り
(1,1,4) … 3通り (1,2,3) … 6通り
(2,2,2) … 1通り　合計：28通り

[2]千の位が2のとき
調べ上げるのが速いです.
2005, 2014 　合計：2通り

[1] [2] 合わせて, 28 + 2 = 30通り.

さて, [1]を調べあげることなく楽に解ける解法があります.
千の位が1のとき, 百の位と十の位と一の位の和が6になります. この場合の数は計算によって求められます. 「百の位と十の位と一の位の和が6になる3桁の数(先頭が0でも良い)」と「球〇を6コと仕切り|を2つ用意して, 一列に並べる方法」が一対一対応しているのです.

123 ⇔ 〇|〇〇|〇〇〇
222 ⇔ 〇〇|〇〇|〇〇
420 ⇔ 〇〇〇〇|〇〇|
006 ⇔ ||〇〇〇〇〇〇

「球〇を6コと仕切り|を2つ用意して, 一列に並べる方法」の場合の数は, はじめに|の位置を8コの位置から2コ選ぶと考えれば, 8×7/2 = 28通りです(8 C 2 = 28通りです). 従って千の位が1でかつ百の位と十の位と一の位の和が6となる四桁の数は28通りあると計算で求めることができました. このように場合の数を一対一に対応させることはよくある手法です.