＜問題15＞
駒場東邦中学校　2023年

　整数Aに対してAの各位の数の和をBとするとき、BがAの約数である整数Aを考えます。例えば、A＝４８のときB＝４＋８＝１２より、BはAの約数なので条件を満たします。

① ４つの数字０、２、２、３を並びかえた４けたの整数は全部で何個ありますか。また、それらの整数のうち、条件を満たす整数をすべて答えなさい。

　次に、条件を満たす整数Aをその各位の数の和Bで割った商を考えます。例えば、４１から５０までの整数について、条件を満たす整数は４２、４５、４８、５０であり、それぞれの商を考えると、

  • ４２÷（４＋２）＝７
  • ４５÷（４＋５）＝５
  • ４８÷（４＋８）＝４
  • ５０÷（５＋０）＝１０

となります。このとき、一番小さい商は４、一番大きい商は１０です。

② 2001から2050までの整数について、同じように商を考えると、一番小さい商はア、一番大きい商はイです。ア、イにあてはまる数を答えなさい。

※中学校の許可を得て掲載しています。

【解答】

(1)9個、2023と3220
(2)ア: 169 　イ: 670

【解説】

①
千の位が2のとき, (0, 2, 3)の並び方は6通り.
千の位が3のとき, (0, 2, 2)の並び方は3通り.
答えは合わせて 6 + 3 = 9 通りです.
4つの数字0, 2, 2, 3を並びかえた4けたの整数の各位の和の数は, 必ず7になります.
9通りの4けたの整数のうち, 7で割り切れるものは2023, 3220の2つです.

②
2001から2050まで50個全部試せば答えは分かりますが、さてどうやって楽に解きましょうか？
割る数と割られる数(各位の数の和)の表を書いてみます.

÷3 ÷4 … ÷12 ÷13 ÷14 ÷15
2001 2002
2010 2011 2019
2020 2028 2029
2037 2038 2039
2046 2047 2048 2049

ここで, 商の大小を決めるには「割る数の大小」が重要ということに気づきます. なぜなら割られる数は2001から2050と大きいわりに狭い範囲を動くので,
2050÷3 > 2001÷3 > 2050÷4 > 2001÷4 >…>2050÷14 > 2001÷15 > 2050÷15
が成り立つからです.

一番小さい商を求めるには, まず割る整数を大きく, 次に割られる整数を小さくしていって, 商が整数になるものを見つければよいです. 順に割っていきます.
2049÷15 = 136…9
2039÷14 = 145…9
2048÷14 = 146…4
2029÷13 = 156…1
2038÷13 = 156…10
2047÷13 = 157… 6
2019÷12 = 168…3
2028÷12 = 169 ←割り切れた
よって一番小さい商は169です.

一番小さい商を求めるには, まず割る整数を小さく, 次に割られる整数を大きくしていって, 商が整数になるものを見つければよいです. 同じように順に割っていきます.
2010 ÷ 3 = 670 ← 割り切れた！
よって一番大きい商は670です. 今回は早かったですね.
油断して2001÷3=667と誤答しないように考察しましょう.

非常に多くの割り算をする必要がありましたが, nの倍数判定法を知っていると楽できたと思います.
2の倍数：下一桁が偶数
3の倍数：各位の和が3の倍数
4の倍数：下二桁が4の倍数
5の倍数：下一桁が5の倍数
9の倍数：各位の和が9の倍数
例えば÷12, ÷14をするときは下一桁が偶数でない2019, 2039は必ず割り切れないので, 初めに除外できます. とはいえ÷13などは割っていかなければいけないのですが.