＜問題６＞
開成中学校　2024年

数字1、2、3、4、5、6、7、8、9と四則演算の記号＋、－、×、÷とカッコだけを用いて2024を作る式を１つ書きなさい。ただし、次の指示に従うこと。

  1. ①１つの数字を２個以上使ってはいけません。
  2. ②２個以上の数字を並べて２けた以上の数を作ってはいけません
  3. ③できるだけ使う数字の個数が少なくなるようにしなさい。（使う数字の個数が少ない答えほど、高い得点を与えます。）

たとえば、10を作る場合だと、

  • ５＋５や（７－２）×２は、①に反するので認められません。
  • １と５を並べて15を作り、15－２－３とするのは、②に反するので認められません。
  • ③の指示から、２×５、２×（１＋４）、４÷２＋３＋５のうちでは、使う数字の個数が最も少ない２×５の得点が最も高く、数字３個の２×（１＋４）、数字４個の４÷２＋３＋５の順に得点が下がります。

※中学校の許可を得て掲載しています。

【解答】

例：（９×７×４＋１）×８

【解説】

とりあえず2024ができるものを探すと、2024＝45×45－１なので、
５×９×（６×８－３）－１
のような６個の数字を使ったものが見つかる。
※他にも６個の数字を使ったものはたくさんある。

次に、５個のものがないか探してみる。
2024＝２×２×２×11×23なので、５個の一桁の数字のかけ算では表せない。
よって、「×」を３回使う場合を考える。（４個の数字のかけ算を考える）

A×B×C×D＋EまたはA×B×C×D－Eとなる場合、A×B×C×Dが2024に近い数となる。
A×B×C×Dの値が大きいものから書き出すと、
　９×８×７×６＝3024　できない
　９×８×７×５＝2520　できない
　９×８×６×５＝2160　できない
　９×７×６×５＝1890　小さすぎる
よってこの場合はできないことが分かる。

次に、（A×B×C＋D）×Eまたは（A×B×C－D）×Eとなる場合、例えば2024＝８×11×23なので、Eは８である。したがって、A×B×C＋DまたはA×B×C－Dは253である。
A×B×Cの値が大きいものから書き出すと、もうすでに８は使ってあるので、
　９×７×６＝378　できない
　９×７×５＝315　できない
　９×６×５＝270　できない
　９×７×４＝252　できる
よって９×７×４＋１＝253となり、答えとして（９×７×４＋１）×８が見つかる。

ちなみに、４個以下ではできないことも示してみる。
A×B×C×Dとなる場合は、2024＝2×2×2×11×23なので不可能。
よって「×」を２回しか使わない場合で（３個の数字のかけ算）、できるだけ数を大きくすることを考える。
最大の数は（A＋B）×C×Dと表されるもので、（６＋７）×８×９＝936であるが、これでは2024には到底届かない。
したがって３個、２個、１個のときも2024のような大きい数にすることはできないので、５個が最も少ない時である。

＜コメント＞
６個のものははやく見つかると思うので、本番では６個使ったものを解答らんに書いて、次の問題を解き進めて、時間が余ったら５個のものを探すのがよいと思います。