算数オリンピックも「いいね！」
2024年中学入試問題を紹介！

次の.にあてはまる数を求めなさい。
図のような、電池１個、電球１個、スイッチ７個を含む電気回路があります。スイッチのオン・オフの仕方は全部で128通りあり、そのうち電球が点灯するようなスイッチのオン・オフの仕方は全部で.通りあります。

※中学校の許可を得て掲載しています。

まず、分かりやすいように、スイッチにア～カの名前をつけた。また、電流が流れることのできる回路をA～Fとした。

次に、カとキのスイッチのオン・オフで場合分けをする。

1. ①カとキが両方ともオフのとき
   A～Fのどの回路もつかないので０通り。
2. ②カだけオンのとき
   Bの回路がつながるとき、アのスイッチはオンで、イ、ウ、エ、オのスイッチのオン・オフはどちらでもよいので２×２×２×２＝16通り。
   Bの回路はつながらずにDの回路がつながるとき、アはオフ、イとエはオンで、ウとオはどちらでもよいので２×２＝４通り。
   BとDの回路はつながらずにFの回路がつながるとき、アとイはオフ、ウとエとオはオンの場合のみなので１通り。
   よって16＋４＋１＝21通り。
3. ③キだけオンのとき
   ②と左右対称なだけなので、②と同じで21通り。
4. ④カとキが両方ともオンのとき
   Aの回路がつながるとき、ウはオンで、ア、イ、エ、オのオン・オフはどちらでもよいので２×２×２×２＝16通り。
   Aの回路はつながらずにBの回路がつながるとき、ウはオフ、アはオンで、イとエとオはどちらでもよいので２×２×２＝８通り。
   AとBの回路はつながらずにCの回路がつながるとき、アとウはオフ、イとオはオンでエはどちらでもよいので２通り。
   AとBとCの回路はつながらずにDの回路がつながるとき、アとウとオはオフ、イとエはオンの場合のみなので１通り。
   EとFの回路がつながるときは、それぞれBとAの回路がつながる場合に含まれているので、新たに考えなくてよい。
   よって16＋８＋２＋１＝27通り。

したがって答えは０＋21＋21＋27＝69通り。

＜コメント＞
組み合わせが得意な人は正解したい問題かな…
どうやって場合分けすればよいかが悩ましいです。