＜問題13＞
栄光学園中学校　2024年

100以上の整数のうち、次のような数を『足し算の数』、『かけ算の数』とよぶことにします。

  • 『足し算の数』：一の位以外の位の数をすべて足すと、一の位の数になる
  • 『かけ算の数』：一の位以外の位の数をすべてかけると、一の位の数になる
例えば、2024は２＋０＋２＝４となるので『足し算の数』ですが、２×０×２＝０となるので『かけ算の数』ではありません。また、2030は２＋０＋３＝５となるので『足し算の数』ではありませんが、２×０×３＝０となるので『かけ算の数』です。

  1. 『足し算の数』について考えます。
    1. ３桁の『足し算の数』は全部でいくつありますか。
    2. 最も小さい『足し算の数』は101です。小さい方から数えて60番目の『足し算の数』を答えなさい。

  2. 『かけ算の数』について考えます。
    1. ３桁の『かけ算の数』は全部でいくつありますか。
    2. 最も小さい『かけ算の数』は100です。小さい方から数えて60番目の『かけ算の数』を答えなさい。

  3. 『足し算の数』でも『かけ算の数』でもある数について考えます。
    1. 一の位の数として考えられるものをすべて答えなさい。
    2. 『足し算の数』でも『かけ算の数』でもある数はいくつあるか、一の位の数ごとに答えなさい。ただし、無い場合は空欄のままで構いません。

※中学校の許可を得て掲載しています。

【解答】

（１）（ア）45個　（イ）1157　（２）（ア）32個　（イ）1326
（３）（ア）４、６、８、９　（イ）解説参照

【解説】

  1. （ア）１の位が０ ０個
    １ 101 １個
    ２ 202　112 ２個
    ３ 303　213　123 ３個
    ４ 404　314　224　134 ４個
    ５ 505　・・・・・・・　145 ５個
    ６ 606　・・・・・・・　156 ６個
    ７ 707　・・・・・・・　167 ７個
    ８ 808　・・・・・・・　178 ８個
    ９ 909　・・・・・・・　189 ９個
    上の表のように、１の位の数が０～９で分けて考えると、答えは０＋１＋２＋…９＝45個。

    （イ）（ア）より、３桁の「足し算の数」は45個あるので、小さい方から60番目の「足し算の数」は４桁の小さい方から15番目の「足し算の数」と等しい。
    よって４桁の「足し算の数」を書き出すと、下のようになる。
    1001　1012　1023　1034　1045　1056　1067　1078　1089　1102　1113　1124　1135　1146　1157　…
    よって15番目は1157。
  2. （ア）１の位の数によって場合分けする。
    百の位には、一の位の数の約数を書き、十の位には（一の位の数）÷（百の位の数）を書く。
    よって、一の位の数が○のときの３桁の「かけ算の数」の個数は、○の約数の個数である。

    一の位        １　２　３　４　５　６　７　８　９
    「かけ算の数」の個数 １　２　２　３　２　４　２　４　３

    ただし、一の位が０のときは、100、200、…、900の９個がある。
    よって答えは１＋２＋２＋３＋２＋４＋２＋４＋３＋９＝32個。

    （イ）（ア）より、３桁の「かけ算の数」は32個あるので、小さい方から60番目の「かけ算の数」は４桁の小さい方から28番目の「足し算の数」と等しい。

    10？？のとき 1000　1010　…　1090の10個
    11？？のとき 1100　1111　…　1199の10個
    12？？のとき 1200　1212　…　1248の５個
    ここまでで25個あるから、求めるのは上２桁が13の４桁の「かけ算の数」の、小さい方から３番目。
    1300　1313　1326と続くので、答えは1326。
  3. （ア）例えば、１の位の数が７のとき、「かけ算の数」は177や717などが考えられる。しかし、十の位以上の位に７と１が必ず入るため、十の位以上の位の数を足したときに７を超えてしまう。よって「足し算の数」にはならない。
    このように考えると、一の位の数が素数または１の「かけ算の数」は絶対に「足し算の数」にはなれない。
    したがって、一の位の数が素数や１でない数のときに「足し算の数」でも「かけ算の数」でもある場合がある。

    素数や１でない１桁の数は０、４、６、８、９があるが、０が一の位のときは、そのような「足し算の数」は存在しないのでダメ。
    ４が一の位のとき 224などがOK
    ６が一の位のとき 1236などがOK
    ８が一の位のとき 11248などがOK
    ９が一の位のとき 111339などがOK
    よって答えは４、６、８、９。

    （イ） ４が一の位のとき  224だけ
        ６が一の位のとき  1236の並びかえ
        ８が一の位のとき  11248、112228の並びかえ
        ９が一の位のとき  111339の並びかえ
    よって答えは下のようになる。
    一の位の数 「足し算の数」でも「かけ算の数」でもあるもの
    ０
    １
    ２
    ３
    ４ 224
    ５
    ６ 1236　1326　2136　2316　3126　3216
    ７
    ８ 11248　11428　12148　12418　14128　14218
    21148　21418　24118　41128　41218　42118
    112228　121228　122128　122218
    211228　212128　212218　221128　221218　222118
    ９ 111339　113139　113319　131139　131319　133119
    311139　311319　313119　331119