(1) 千の位の数字の選び方は1から9の9通り，百の位の数字の選び方は千の位の数字以外の10－1＝9（通り），十の位の数字の選び方は千の位の数字と百の位の数字以外の10－2＝8（通り），一の位の数字の選び方は千の位の数字と百の位の数字と十の位の数字以外の10－3＝7（通り）あるので，答えは9×9×8×7＝4536（個）です。

(2) 9877から9999までの123個の整数はどれも「おもしろい整数」ではありません。これより長く「おもしろい整数」ではない4けたの整数が連続するところがないか調べます。
まず，「1000から1099」などの上2けた（千の位と百の位）が同じ100個の整数が全部入っている，「おもしろい整数」ではない4けたの整数が123個より長く連続するところがないか調べます。このとき，
1100から1199が入っている → 1番長く連続するのは1099から1202の104個
2200から2299が入っている → 1番長く連続するのは2199から2300の102個
3300から3399が入っている → 1番長く連続するのは3299から3400の102個
4400から4499が入っている → 1番長く連続するのは4399から4500の102個
5500から5599が入っている → 1番長く連続するのは5499から5600の102個
6600から6699が入っている → 1番長く連続するのは6599から6700の102個
7700から7799が入っている → 1番長く連続するのは7699から7800の102個
8800から8899が入っている → 1番長く連続するのは8797から8900の104個
9900から9999が入っている → 1番長く連続するのは9877から9999の123個
で，123個より長いものはありません。

次に，「1000から1099」などの上2けたが同じ100個の整数が入っていない，「おもしろい整数」ではない4けたの整数が123個より長く連続するところがないか調べます。
123個より長く連続するところがあったとします。この連続する整数の上2けたについて考えると，100個より長く連続しているので，上2けたの数は2種類以上あります。しかし，上2けたの数が3種類以上あるとすると，上2けたが同じ100個の整数が全部入ってしまっておかしいです。だから，上2けたの数はちょうど2種類あります。
2種類の上2けたの数を小さい方からAB，CDとします。ただし，A，B，C，Dは1けたの整数で，A，Cは0ではありません。このとき，CDはABより1大きいです。
A＝Bだとすると，AB00からAB99までの数はどれも「おもしろい整数」ではないので，AB00から「おもしろい整数」ではない数が始まっているとした方が長くなります。しかし，こういうケースは「上2けたが同じ100個の整数が全部入っている場合」ですでに考えています。だから，AとBはちがうとしてよいです。同じように，CとDはちがうとしてよいです。
7，8，9の中にはAともBともちがう数字があります。また，4，5，6の中にはAともBともちがう数字があります。だから，AB74，AB75，AB76，AB84，AB85，AB86，AB94，AB95，AB96の中には各位の数字が全部ちがう「おもしろい整数」があります。同じように考えると，0，1，2の中にはCともDともちがう数字があって，3，4，5の中にはCともDともちがう数字があるので，CD03，CD04，CD05，CD13，CD14，CD15，CD23，CD24，CD25の中には各位の数字が全部ちがう「おもしろい整数」があります。AB74以上AB96以下の整数に「おもしろい整数」があり，CD03以上CD25以下の整数に「おもしろい整数」があるので，「おもしろい整数」ではない整数は長くてもAB75からCD24までしか連続しません。CDはABより1大きいので，AB75からCD24までにはCD24－AB75＋1＝(124－75)＋1＝50（個）の整数があります。だから，上2けたが同じ100個の整数が入っていない，「おもしろい整数」ではない4けたの整数が123個より長く連続するところはありません。
よって，「おもしろい整数」ではない4けたの整数が最も長く連続するのは，9877から9999までの123個なので，答えはア…9877，イ…9999，ウ…123です。

☆論理的ではないが理解しやすい解説☆
1100から1199のような，上2けたが11，22のように同じ数2つを並べたものになっている連続する100個の4けたの数を使うとよさそうです。
このとき，
1100から1199が入っている → 1番長く連続するのは1099から1202の104個
2200から2299が入っている → 1番長く連続するのは2199から2300の102個
3300から3399が入っている → 1番長く連続するのは3299から3400の102個
4400から4499が入っている → 1番長く連続するのは4399から4500の102個
5500から5599が入っている → 1番長く連続するのは5499から5600の102個
6600から6699が入っている → 1番長く連続するのは6599から6700の102個
7700から7799が入っている → 1番長く連続するのは7699から7800の102個
8800から8899が入っている → 1番長く連続するのは8797から8900の104個
9900から9999が入っている → 1番長く連続するのは9877から9999の123個
なので，1番長く連続するのは9877から9999の123個です。
だから答えは，ア…9877，イ…9999，ウ…123です。

(3) 一の位が９の整数から始まる連続する７つの「おもしろい整数」をEFG9，HIJ0，HIJ1，HIJ2，HIJ3，HIJ4，HIJ5とします。ただし，E，F，G，H，I，Jは１けたの整数で，EとHは0ではありません。
ここで，EFG9からHIJ0になるときに上2けたが変わったとすると，そのときに下２けたは99から00になっているので，G=9，J=0です。しかし，このときEFG9やHIJ0は「おもしろい整数」ではありません。だから，EFG9からHIJ0になるときに上2けたは変わらないので，E=H，F=Iです。
このとき，EFG9，HIJ0，HIJ1，HIJ2，HIJ3，HIJ4，HIJ5はEFG9，EFJ0，EFJ1，EFJ2，EFJ3，EFJ4，EFJ5です。また，G＋1＝J…①です。
EFG9，EFJ0，EFJ1，EFJ2，EFJ3，EFJ4，EFJ5が全部「おもしろい整数」なので，次のようなことがわかります。
<1>　E，F，Gは全部ちがう数字です。
<2>　E，F，Jは全部ちがう数字です。
<3>　E，Fは9，0，1，2，3，4，5ではありません。つまり，E，Fは6か7か8です。
<4>　Gは9ではありません。
<5>　Jは0，1，2，3，4，5ではありません。つまり，Jは6か7か8か9です。
<3>からE，Fは6か7か8で，また<1>からEとFはちがいます。だから，EとFの値の組はEの選び方が3通り，Fの選び方がE以外の2通りあるので，3×2＝6（組）あります。この6組のEとFの値の組それぞれについて，ありうるGとJの値の組を考えます。
E＝6，F＝7のとき，<2>からE，F，Jは全部ちがって，しかも<5>からJは6か7か8か9なので，Jは8か9です。このことと①から，GとJの値の組としてありうるのはG＝7，J＝8とG＝8，J＝9です。このうち<1>と<4>を両方満たすのは，G=8，J=9です。
同じように考えると，E＝6，F＝8のとき条件に当てはまるGとJの値の組はなく，E＝7，F＝6のときG＝8，J＝9で，E＝7，F＝8のときG＝5，J＝6で，E＝8，F＝6のとき条件に当てはまるGとJの値の組はなく，E＝8，F＝7のときG＝5，J＝6です。
だから答えは，「6789から6795」と「7689から7695」と「7859から7865」と「8759から8765」で，これらは確認すると，全部一の位が9の整数から始まる連続する7つの「おもしろい整数」です。