＜問題３＞
駒場東邦　2008年

2008にある整数をかけたとき，次の条件を満たすならば，そのかけた整数を「よい数」ということにします。
（条件）かけたときの積に，2と8が1回ずつ現れ，2が常に8より左にあり，
　　　　かつ2と8の間にある0の個数がちょうど2個である。
例えば，2008×626＝1257008は条件を満たすので，626は「よい数」です。
一方，2008×3989＝8009912は2と8の位置が逆なので，3989は「よい数」ではありません。

(1) 126は「よい数」かどうか，計算して答えなさい。
(2) 積が2から始まる7けたの数になるとき，3けたの「よい数」を求めなさい。
(3) 積が5けたになるような「よい数」は，10以外にはないことを説明しなさい。

※中学校の許可を得て掲載しています。

＜解答＞

(1) よい数である
(2) 998
(3) 解説参照

＜解説＞

大小関係をうまく使うことや場合分けを意識すると解きやすいです。

(1) 2008×126＝253008で，これは（条件）を満たすので，126は「よい数」です。

(2) 積は2000000以上3000000未満なので，答えの3けたの「よい数」は2000000÷2008＝996.01…以上3000000÷2008＝1494.02…未満です。だから，答えは997以上999以下です。
2008×997＝2001976，2008×998＝2003984，2008×999＝2005992のうち，（条件）を満たすのは2003984なので，答えは998です。

(3) 積の5けたの数が2から始まるかどうかで場合分けして考えます。
<1> 積が2から始まる場合
積は20000以上30000未満なので，その「よい数」は20000÷2008＝9.96…以上30000÷2008＝14.94…未満です。だから，積が2から始まる5けたの数になる「よい数」は10以上14以下です。
2008×10＝20080，2008×11＝22088，2008×12＝24096，2008×13＝26104，2008×14＝28112のうち，（条件）を満たすのは20080なので，積が2から始まる5けたの数になる「よい数」は10一つです。

<2> 積が2から始まらない場合
積は□2008というかたちの数になります。（□には1，3，4，5，6，7，9のどれかが入ります。）このとき，□2008は2008の倍数です。だから，□2008から2008を引いた□0000も2008の倍数になるはずですが，□に1，3，4，5，6，7，9のどれが入っても，そんなことにはなりません。よって，積が2から始まらない5けたの数になる「よい数」はありません。

<1>と<2>から，積が5けたになるような「よい数」は，10以外にはありません。