(1) 答えは，123＋132＋213＋231＋312＋321＝1332です。

※そのまま計算する以外に，このようにしても計算できます。
123＋132＋213＋231＋312＋321の百の位だけを足すと，1×2＋2×2＋3×2＝(1＋2＋3)×2＝12です。同じように，123＋132＋213＋231＋312＋321の十の位だけを足すと12で，一の位だけを足しても12です。だから，123＋132＋213＋231＋312＋321の答えは

(2) nが2けたのとき，nに使われている位の数を並べかえてできる数は2個以下です。だから，《n》は2個以下の2けたの数を足した和なので，99＋99＝198以下です。実際には《n》＝777なので，これはおかしいです。だから，nは2けたではありません。同じように，nは1けたでもありません。
nが4けたのとき，《n》は1個以上の4けたの数の和なので，1000以上です。実際には《n》＝777なので，これはおかしいです。だから，nは4けたではありません。同じように，nは5けた以上でもありません。
だから，nは3けたです。nの各けたの数字が同じかちがうかによって場合分けして考えます。

<1> 111のように，nのすべてのけたの数字が同じ場合
nに使われている位の数を並べかえてできる数はnしかないので，《n》＝nです。だから《n》＝777なので，n＝777です。このnは確かに3けたで，すべてのけたの数字が同じです。だからこのとき，nとしてありうる数は1個あります。

<2> 121や221のように，nのけたの数字のうち1つだけがちがう場合
nのけたの数字の順番が入れかわっていてもnに使われている位の数を並べかえてできる数は変わらないので，《n》の値は変わりません。だから，nのけたのうち一の位だけがちがうとしてよいです。（けたの数字の順番を入れかえた数は最後に考えます。）
n＝AABとします。ただし，A，Bは異なる1けたの整数で，両方とも0ではありません（nのどの位にも0は入っていないからです）。このとき，《n》＝AAB＋ABA＋BAAです。AAB＋ABA＋BAAの百の位だけを足すと，A×2＋Bです。同じように，AAB＋ABA＋BAAの十の位だけを足すとA×2＋Bで，一の位だけを足してもA×2＋Bです。だから，AAB＋ABA＋BAAの答えは(A×2＋B)×100＋(A×2＋B)×10＋A×2＋B＝(A×2＋B)×(100＋10＋1)＝(A×2＋B)×111です。だから，《n》＝(A×2＋B)×111です。このことと《n》＝777から，（A×2＋B）×111＝777なので，A×2＋B＝7です。
このこととA，Bが異なる1けたの整数で，両方とも0ではないことから，AとBの組としてありうるのはA＝1，B＝5とA＝2，B＝3とA＝3，B＝1です。
けたの数字の順番を入れかえた数も考えると，AとBの組の選び方が3通り，そのそれぞれに対してけたの数字の順番の入れかえ方が3通りあるので，nとしてありうる数は3×3＝9（個）あります。

<3> 123のように，nのけたの数字が全部ちがう場合
n＝ABCとします。ただし，A，B，Cは全部ちがう1けたの整数で，どれも0ではありません（nのどの位にも0は入っていないからです）。このとき，《n》＝ABC＋ACB＋BAC＋BCA＋CAB＋CBAです。ABC＋ACB＋BAC＋BCA＋CAB＋CBAの百の位だけを足すと，A×2＋B×2＋C×2つまり(A＋B＋C)×2です。同じように，ABC＋ACB＋BAC＋BCA＋CAB＋CBAの十の位だけを足すと(A＋B＋C)×2で，一の位だけを足しても(A＋B＋C)×2です。だから，ABC＋ACB＋BAC＋BCA＋CAB＋CBAの答えは
{(A＋B＋C)×2}×100＋{(A＋B＋C)×2}×10＋(A＋B＋C)×2
＝{(A＋B＋C)×2}×(100＋10＋1)
＝ {(A＋B＋C)×2}×111
＝(A＋B＋C)×222です。
だから，《n》＝(A＋B＋C)×222です。このことと《n》＝777から，(A＋B＋C)×222＝777なので，A＋B＋C＝7/2です。しかし，A，B，Cは全部整数なので，これはおかしいです。だから，nのけたの数字が全部ちがうとき，《n》＝777にはなりません。
<1>，<2>，<3>から，nとしてありうる数は1＋9＝10（個）あります。

(3) nが2けたのとき，(2)と同じように考えると，《n》は198以下です。実際には《n》＝1332なので，これはおかしいです。だから，nは2けたではありません。同じように，nは1けたでもありません。
nが5けたのとき，《n》は1個以上の5けたの数の和なので，10000以上です。実際には《n》＝1332なので，これはおかしいです。だから，nは5けたではありません。同じように，nは6けた以上でもありません。
nが4けたのとき，nに使われている位の数を並べかえてできる数が2個以上あったとすると，《n》は2個以上の4けたの数の和なので，1000＋1000＝2000以上です。実際には《n》＝1332なので，これはおかしいです。だから，nに使われている位の数を並べかえてできる数は1個しかありません。その数はnそのものなので，このとき《n》＝nです。このことと《n》＝1332から，n＝1332です。しかし，1332に使われている位の数を並べかえてできる数は2個以上あるので，これはおかしいです。だから，nは4けたではありません。
よって，nは3けたです。(2)と同じように，nの各けたの数字が同じかちがうかによって場合分けして考えます。
<1> 111のように，nのけたの数字が全部同じ場合
nに使われている位の数を並べかえてできる数はnしかないので，《n》＝nです。だから《n》＝1332なので，n＝1332です。しかし，このnは3けたではないのでおかしいです。だから，nのけたの数字が全部ちがうとき，《n》＝1332にはなりません。

<2> 121や221のように，nのけたの数字のうち1つだけがちがう場合
(2)の<2>と同じように考えて，nのけたのうち一の位だけがちがうとしてよいです。（けたの数字の順番を入れかえた数は最後に考えます。）
n＝AABとします。ただし，A，Bは異なる1けたの整数で，両方とも0ではありません（nのどの位にも0は入っていないからです）。このとき，(2)の<2>と同じように考えて，《n》＝(A×2＋B)×111です。このことと《n》＝1332から，（A×2＋B）×111＝1332なので，A×2＋B＝12です。このこととA，Bが異なる1けたの整数で，両方とも0ではないことから，AとBの組としてありうるのはA＝2，B＝8とA＝3，B＝6とA＝5，B＝2です。
けたの数字の順番を入れかえた数も考えると，AとBの組の選び方が3通り，そのそれぞれに対してけたの数字の順番の入れかえ方が3通りあるので，nとしてありうる数は3×3＝9（個）あります。

<3> 123のように，nのけたの数字が全部ちがう場合
n＝ABCとします。ただし，A，B，Cは全部ちがう1けたの整数で，どれも0ではありません（nのどの位にも0は入っていないからです）。このとき，(2)の<3>と同じように考えて，《n》＝(A＋B＋C)×222です。このことと《n》＝1332から，(A＋B＋C)×222＝1332なので，A＋B＋C＝6です。0ではない全部ちがう1けたの整数3つの和が6になるとき，その3つの1けたの整数は1と2と3です。だから，A，B，Cは1，2，3を入れかえたものなので，nとしてありうる数は(3！＝)3×2×1＝6（個）あります。

<1>，<2>，<3>から，nとしてありうる数は9＋6＝15（個）あります。