＜広中杯＞
問題３　各位の数字の和が2023

次の各問いに答えよ。（途中の考え方も記すこと。）
　（１）各位の数字の和が2023である2023の倍数は存在するか。
　（２）各位の数字の和が2023である平方数（整数の２乗で表される数）は存在するか。
　（３）各位の数字の和が2023である立法数（整数の３乗で表される数）は存在するか。

（正答率：2.7%）

＜解答＞

（１）存在する
（２）存在する
（３）存在しない

＜講評・ワンポイントアドバイス＞

(1)　　　小学生にもぜひチャレンジしてほしい問題。
2023の倍数という時点で 2023＝7×17×17 を利用するんだろうな。という予想を立てた上で　2＋0＋2＋3 がちょうど７ であることに気づけるかどうか。そして2023が 17×17 個並んだ整数をイメージ。うん。面白い。超問題。

そして(2)。と思ったけど…。いや難しい…。マジでわからん！
ということでさっさと後回しにして、ここはひとまず落ち着いて(3)にトライしましょう。

(3)　　　各位の数字の和の情報をどう活かすか。背理法。
各位の数の和と言えば「３や９の倍数条件」。それを拡張した「整数Nを９で割ったときの余りは、整数Nの各位の数の和を９で割ったときの余りに等しい」を利用。詳しくは模範解説に任せますが「剰余(mod)」は整数問題では常套手段ですね。困ったときの「mod」。大学入試の整数問題難問でもよく使います。(算数オリンピック問題10も同様)

(2)　　　(3)で使った方法が通用しない…。
まず各位の数の和が2023だから、桁数が最小ならば 2023÷9＝224あまり7 より、例えば 999…9997 のような225桁の整数が考えられる。しかし平方数で一の位は７にならないから 999…99916 , 999…99925 とかどうだろうか。という流れから、多数(224個)の９と下２桁の25に着目して (x-5)^2=(x^2-10x+25) につなげていく。


各位の数の和、そして平方数という情報を「どのように数式で扱うのか」を学ぶ材料として非常に参考になりますね。正答率（３問すべて正解した率）は2.7%か…。さすが広中杯。解けた人は素晴らしいですね。