＜ジュニア広中杯＞
問題９　1×3×5×…×(2n−1)×2n

　正の整数nに対して、2n−1以下の正の奇数すべての積に2nをかけた数
1×3×5×…×(2n−1)×2nをA(n)と表す。
　100個の数の和A(1) ＋A(2)＋ A(3)＋…＋ A(100)の10の位の数字を答えよ。

（正答率：24.8%）

（ファイナリスト正答率：64.5%）

＜解答＞

2

＜講評・ワンポイントアドバイス＞

例えばA(4)であれば A(4)＝1×3×5×7×8。なんだか最後の方「7×8」だけ不自然ですね…。
そこで次のように考えてみましょう。

A(1)＝1×2
A(2)＝1×3×4
A(3)＝1×3×5×6
A(4)＝1×3×5×7×8

→　1×3－1
→　1×3×5－1×3
→　1×3×5×7－1×3×5
→　1×3×5×7×9－1×3×5×7

…
A(100)＝1×3×5×…×199×200　→　1×3×5×…×199×201－1×3×5×…×199

これらをすべて足すと，部分分数分解と同じように間がすべて打ち消し合って残るのは
－1と1×3×5×…×199×201，つまり 1×3×5×…×199×201－1 となります。

1×3×5×…×199×201の1の位は０ではないので，
1×3×5×…×199×201－1の10の位の数字は1×3×5×…×199×201の10の位の数字と同じ。
さらに1×3×5×…×199×201と1×3×5×…×199の下2桁は同じなので，
「1×3×5×…×199の10の位の数字は何？」という問題に帰着します。

ここからは模範解答を参照して頂ければと思いますが，
ざっくり言えば 1×3×5×…×199 =25×(4の倍数＋◯) と考えて
◯(1か3のどちらでしょうか?)さえわかれば下2桁が明らかになりますね。

数学では外せない重要な解法が詰まった良問です。
難しい整数系問題ですがファイナリストの完答率64.5%はさすが！ (全体の完答率24.8%)
惜しくもファイナル進出を逃した人でもこれが解けているなら大変立派です。すばらしい。