＜ジュニア広中杯＞
問題９　うその発言

ある正の整数Nについて、A、B、C、D、E、F、Gの７人が次のように発言した。

  • A：３で割ると余りは１
  • B：５で割ると余りは２
  • C：７で割ると余りは３
  • D：９で割ると余りは４
  • E：11で割ると余りは５
  • F：13で割ると余りは６
  • G：15で割ると余りは７

　７人のうち、一人だけがうその発言をしているとき、次の問いに答えよ。
　(i)　うそをついている可能性がないのは誰か。全て答えよ。
　(ii)　Nとして考えられる数は、最小でいくつか。

（正答率：11.7%）

（ファイナリスト正答率：44.7%）

＜解答＞

(i) A,B,G　(ii) 1732

＜講評・ワンポイントアドバイス＞

AがウソならDもGもウソになり、またBがウソならGもウソになるので、AとBは正しい。
AとBが正しいのでNは (15の倍数)＋7。
だからGも正しい。

まあここまではウォーミングアップですが、全体正答率11.7%、ファイナリストでも50%を下回る(44.7%)わけですから(ii)は強敵ですね…。
過去に算数オリンピックなどでも類題が出ていますが、ひとつには「ざっくり探す」という戦法を適用するのもアリかも。(けっこう大変だけど…)

思い切ってC、Dも正しいとすると Nは (63の倍数)＋31。
A、B、Gから (15の倍数)＋7。
このときちょっと探してNは (315の倍数)＋157。
157、472、787、1102、1417、1732、…
ここでEの発言にあてはまる最小値らしき1732が見つかる。
Fがウソだと勝手に決めつけて(!?)、答えは1732だ！と強引に突き進んで正解した人もいるでしょうね。

ただ詳細は模範解説にお任せしますが、すべての発言において、余り＝x とすると 割る数＝2x+1 となっているのは見逃せない。
商をQとすると N＝(2x+1)Q＋x 。
ここで 2N+1を考える(因数分解的な発想。ここが難しいけど最大のポイント)と
2N+1＝2(2x+1)Q＋2x+1＝(2x+1)(2Q+1)。
だから 2N+1 は割る数(2x+1)の倍数だとわかり，最小公倍数からNの候補がバッチリ明確になるのです。

算数的な思考では大変な問題が、数学的な処理であっさり解決してしまう。
算数的に考えるのも面白いけど、やっぱり数学ってすごいなぁ。