＜広中杯＞
Ⅱ-(2)　　20252＋2025＋1

(m2＋m＋1)(n2＋n＋1)=20252＋2025＋1を満たす正の整数の組(m,n)を1組挙げよ。

（正答率：43.9%）

（ファイナリスト正答率：93.2%）

＜解答＞

(45,44)　または　(44,45)

＜講評・ワンポイントアドバイス＞

数式の変換パズルっぽい面白い問題ですね。
目の付け所は2025が45の2乗であるということ。
2025が平方数なのは、2025年の広中杯を受験する側としては当然の知識ですよね？
だから20252＋2025＋1は (452)2＋452＋1という複二次式であることに気付きたい。
複二次式の因数分解。
因数分解の基本であり、これがこの問題の攻略の鍵。
解けない人にありがちですが、いきなり「左辺を展開だっ！」みたいなのは悪手ですよ。

  • 複二次式の因数分解
  • (452)2＋452＋1
  • ＝(452)2＋2･452＋1－452
  • ＝(452＋1)2－452
  • ＝(452＋45＋1)(452－45＋1)

452－45がちょっと悩ましいけど、452－45＝45×44＝(44＋1)×44＝442＋44 だから
(45,44)または(44,45)が答え。

正答率は全体で43.9%、そしてファイナリストの正答率はなんと93.2%。素晴らしい！
そんなに簡単な問題ではないはずですが、さすがの正答率。

算数オリンピックや受験算数でも同様ですが、
あらためて基本的な計算力(この問題で言えば複二次式の因数分解)が大切なんだなとつくづく感じます。