＜ジュニア広中杯＞
問題10　「にこにこな数」

　８や1250のように、２、５をいくつか（０回でもよい）かけて得られる数を「にこにこな数」ということにする。
　（１）８11＝8589934592、５11＝48828125をもとに、10桁のにこにこな数がいくつあるかを数えよ。
　（２）２、５をあわせて100個かけて得られる50桁のにこにこな数はいくつあるか。

（正答率：6.2%）

＜解答＞

（１）48個
（２）２個

＜講評・ワンポイントアドバイス＞

(2)は「2と5をあわせて100個」という縛りが強い ので、(2)の方が簡単っぽいと予想。
というわけでまず(2)から。

50桁だから 249549 (最小の50桁)をもとに考えれば、249549の1倍以上10倍未満に収まればいいわけですから、そもそも題意を満たす数はほとんどないことがわかりますね。

そして(1)。2x5yとします。
まず2959 の1倍以上10倍未満に収まればいいので、さらにあと２と５をそれぞれいくつ乗じることが可能かを考えると (+x,+y) = (3,0) (2,0) (1,0) , (0,1) (0,0) の５通り。次に2858の10倍以上100倍未満に収まればいいので (+x,+y) = (6,0) (5,0) (4,0) , (0,2)の４通り。そして最終的に2050 のとき、与えられた 811と58をもとに (+x,+y) = (33,0) ～ , (0,14)。つまり (1,0)～(33,0) の33個と(0,0)～(0,14)の15個で合わせて全部で48個。

大きな数を扱う問題は「ああでもない、こうでもない」と、方針を立てるまでに時間を取られてしまいますね。王道の解法はありませんが「書き表せないほどの大きな数」だからこそモヤモヤとするわけで、逆にそれを「どのようにシンプルに書き表すか」ということに狙いを定めて考えれば、解法の糸口を掴む可能性が高まるのではないでしょうか。